リチウムイオンバッテリの等価回路モデルと回路方程式

今回使用する等価回路モデルと回路方程式は第2回目で使用したものと同じものです。

ただ前回はLookup Tableを用いて表現していたOCV電圧、R、Cを、今回はSOCの変数として近似式で表現するため、Simulink®モデル作成時に差異がでてきます。

Lookup Tableを用いるか、近似式を用いるかは、精度やシミュレーションの速さ、HDL化したときの使用リソース量などで、メリット・デメリットを考えどちらを選択するかを決めます。また、次回以降にHDL化時の使用リソース量の比較を行う予定です。

SOCを変数とする近似式でE_ocv, R, Cなどを表現

前回モデルでE_ocv, R, CなどをLookup Tableで表していたものを、SOCを変数とする近似式で表現します。

今回、近似式の算出には、「MATLAB® の基本的な近似 UI 」※を使用しました。最高10次の多項式を用いて近似できます。低次数（2～6次）でよい場合は、Excelを使用して算出することも可能です。
使用したデータは図1の温度Tが293.15[K](=20℃)のデータです。

※詳細は以下を参照。
https://jp.mathworks.com/help/matlab/data_analysis/interactive-fitting.html#f1-15488

　

それでは、近似式を算出する手順を順番に見ていきます。

図1 Lookup Table値, ブレークポイント値

まず、図1のLookup Table値,ブレークポイント値をmファイルに保存し、実行してワークスペースに読込みます。

続いて読込んだデータの散布図を表示させます。以降はE_ocvの近似式を算出場合の手順です。R₀,R₁,C₁の場合も同様の手順で算出できます。

MATLABのコマンドウィンドウで以下のコマンドを入力すると、図2のようにFigureウィンドウ上に散布図が表示されます。図3のようにFigureウィンドウ上で「ツール(T)」―「基本的な近似(F)」を選択すると「基本的な近似UI」が起動します。

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図4のように「基本的な近似UI」で「近似タイプ」欄から多項式の次数、「近似の結果」欄から有効桁数、式、R²、RMSEを設定すると、図5のように近似式でFittingされた結果が表示されます。
R²(決定係数），RMSE（二乗平均平方根誤差）は回帰分析で適合度合を評価する指標です。R²は0から1までの値をとり1に近いほど、RMSEは小さいほど近似式が実際のデータに当てはまっていることを表します。図5では比較のため、近似タイプ3次と8次の多項式の結果を表示させています。今回は、R²、RMSEの結果を比較して8次を選択しました。

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R₀,R₁,C₁の場合も同様に近似式を算出し、図6に示した係数を求めました。

図6 近似式の係数

回路方程式をSimulink®モデルへ（SOCを変数とする近似式でE_ocv, R, Cなどを表現）

図7のようにSOC, i_batを入力、V_batを出力とし、前回モデルでE_ocv, R, CをLookup Tableで表していたものを、SOCを変数とする近似式で表現する、Simulink®モデルに変更しました。
E_ocvの近似多項式モデルが図8に示した通りです。先程求めた、8次の近似多項式をモデル化してあります。

図7 E_ocv, R, CをSOCの関数で表した、リチウムイオンバッテリのSimulink®モデル

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図8 Eocvの近似多項式モデル

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シミュレーションによる評価

上記で作成した、近似式を使用したリチウムイオンバッテリのSimulink®モデルで、前回と同様に図9のようにSOCが1の状態からi_bat =5[A]で240[s]間放電した場合のV_batの変化をシミュレーションにより評価しました。最後に第2回のLookup Tableを使用したモデルとシミュレーション結果を比較しました。

i_bat を0[A]から5[A]に変化するタイミングでSOCを1から0.9に変化させています。

図9 評価条件（i_bat，SOC)

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バッテリの端子電圧V_batのシミュレーション結果は図10の通りです。5[A]の放電電流i_batが流れ始める240[s]で変化が現れ、SOCの1→0.9の変化によるE_ocvの低下とV₀（= R₀ i_bat：前回ブログの回路方程式①）による電圧降下、V₁(=(1/C₁)∫ (i_bat – V₁/ R₁)dτ：前回ブログの回路方程式⑦)による電圧降下でV_batが変化します。V₁の電圧降下の特性はR₁とC₁のカップリングできまります。放電電流がきれる480[s]でV₀成分の電圧降下がなくなり、その後緩やかにV₁成分の電圧降下分がなくなり、SOCが0.9の時のE_ocvに収束していきます。

図10 V_batのシミュレーション結果

 

図11 V_batのシミュレーション結果（fnc vs lut）

 

 

図14 ③の拡大

第2回のLookup Tableを使用したモデルのV_batのシミュレーション結果と比較したものが図11～図14です。黄色が近似式の結果、青色がLookup Tableでの結果です。この結果から近似式がLookup Tableをよく近似できていることが分かります。

終わりに

今回はリチウムイオンバッテリのSimulink®モデルを、SOC(充電率)を変数とする近似式でOCV電圧、R、Cを表現するモデルを作成しました。
近似式の算出に際しては、高次（最高10次）の多項式にも対応する、「MATLAB の基本的な近似 UI 」を使用しました。
SOCが1の状態からi_bat =5[A]で240[s]間放電し、SOCが0.9となる場合のV_batの変化をシミュレーションにより確認しました。前回のLookup Tableを使用したモデルとシミュレーション結果を比較し、よく近似できていることが確認できました。

もしお手元にあるSimulink®モデルのHDL化やモデルベースデザイン設計を委託したいというご要望がございましたら、以下よりお気軽にお問い合わせください。

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最後までお付き合いいただきありがとうございました。

 

 

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